Aniden Yazarım

Paul Erdös, 1996′da 83 yaşında ölmüş ünlü bir matematikçi. Hayatı boyunca çok çeşitli alanlardan 511 insanla ortak makale yayınlamış. Bu yazının konusu da isim babalığını yaptığı Erdös sayısı.

Erdös sayısını tanımlamak kolay: Erdös’ün kendi Erdös sayısı 0. Yukarıda bahsettiğimiz 511 insanın Erdös sayısı ise (doğrudan Erdös’le ortak makale yayınladıkları için) 1 oluyor. Bu insanlarla ortak çalışma yapanlar ise 2 oluyor ve bu böyle gidiyor. Eğer ortak çalışma yaptığınız insanlar içinde en küçük Erdös sayısına sahip kişiyi bulursanız ve onun sayısına bir eklerseniz kendi Erdös sayınızı bulursunuz. Hiç bilimsel makaleniz yoksa veya ortak makale yayınladığınız insanların hiçbirinin Erdös sayısı yoksa Erdös sayınız (şimdilik) yoktur veya sonsuzdur denebilir.

Önce ufak bir kaç gözlem:

1. Bir insanın Erdös sayısı sadece ortak makale yazarlığı ilişkileri üzerinden kaç adımda o insandan Paul Erdös’e ulaşılabileceğini söyler. Mesela şu meşhur 511 insanla Erdös arasında sadece tek bir makale var o da ortak yazdıkları makale.
2. Erdös numarası 1 olan insanların sayısı artamaz: Erdös sayısının 1 olması için Paul Erdös’le ortak makale yayınlamış olmak gerek. Kendisi artık yaşamadığı için zamanında onunla beraber hazırladığınız ama henüz yayınlanmamış bir makaleyi yastık altında saklamıyorsanız asla Erdös sayınızı 1 yapamazsınız. (Hoş, ölümünden beri geçen 10 yılda hâlâ yazarı olduğu makalelerin yayınlanıyor olması bu iddiayı yanlışlıyor aslında. Yine de gelecekte bir gün doğru olacak bu gözlem.)
3. Gerçek Erdös sayınızı hesaplamak zor olabilir ama bir üst sınır hesaplamak her zaman mümkün: Gerçek Erdös sayınızı hesaplamak için ortak makale yazdığınız insanların hepsinin gerçek Erdös sayısını bilmeniz gerekir. Başka bir deyişle makale yazarları dünyasında sizinle Paul Erdös arasında kurulabilecek tüm farklı yolları sınayıp aralarından en kısasının uzunluğunu hesaplamanız gerekir. Ancak bu çoğu zaman pek mümkün olmaz. Biz de artmayacağından emin olduğumuz üst sınırlarla idare etmek zorunda kalırız. Eğer beraber makale yazdığınız bir A insanı, Erdös numarası 2 olan bir insanla ortak çalışma yaptıysa sizin Erdös numaranız da (2 + 1 + 1) en fazla 4 olabilir. Bu sayı azabilir ama artmayacağından emin olabilirsiniz.

Şimdi gelelim bütün bu yazıyı yazma sebebime: Ben bugün Erdös numaramın en fazla 4 olduğunu keşfettim! Yüksek lisansım sırasında ortak makale çıkardığımız danışmanım Haluk Bingöl [1], doğrudan Paul Erdös’le birlikte çalışmış Mark Goldberg‘le [2] beraber ortak yayın yapmış olan Bülent Yener‘le [3] beraber bir makale yayınlamış [4]. Bu da Mark Goldberg’in Erdös numarasını 1, Bülent Yener’inkini 2, Haluk Bingöl’ünkini 3 ve benimkini de 4 yapıyor.

Aradaki bağlantıyı kuran makaleler şöyle:

[1] Herdagdelen, A., Aygun, E., & Bingol, H. (2007). A Formal Treatment of Generalized Preferential Attachment and its Empirical Validation. Europhysics Letters, 78, 60007.

[2] “Cutting a Graph into Two Dissimilar Halves,” Journal of Graph Theory, 1988, Vol. 12, No. 1, pp. 121-131 (with P. Erdòs, J. Pach, and J. Spencer).

[3] “Statistical Modeling of Social Groups on Communication Networks,” (with P. Horn, M. Magdon-Ismail, W. Wallace, J. Riposo, D. Siebecker, and B. Yener). Proceedings of NAACSOS ( North American Association for Computational, Social, and Organizational Sciences), June 22 - 25, 2003

[4] Multiway Analysis of Epilepsy Tensors. with E. Acar, C. Aykut-Bingol, H. Bingol. R. Bro. in BIOINFORMATICS 23(13): i10-i18, 2007.

Eğer kendi Erdös sayınınızı hesaplamak isterseniz veya “Neymiş bu Erdös sayısının diğer özellikleri, niye bu kadar olay olmuş?” diye merak ederseniz resmî “Erdös Number Project” sayfasına bakmanızı öneririm: http://www.oakland.edu/enp/

Aynı proje kapsamındaki verilerden düzenlenen şu dosya Erdös’ün bilinen ortak yazarlarını (Erdös sayısı 1) ve onların ortak yazarlarını (Erdös sayısı 2) listeliyor: http://www.oakland.edu/enp/Erdos1.

.  Eğer , 3 veya daha büyük bir tam sayı ise, bu eşitliği sağlayan , ve tamsayıları bulunamaz.

Fermat’nın 17. yüzyıl’da bir kitap kenarına not düştüğü bu iddianın hemen yanında şu da yazıyordu:

“Bu önermenin gerçekten de fevkalade bir ispatını yaptım ama sayfa kenarı bunu göstermek için çok dar.”

İronik bir şekilde bu önerme Andrew Miles tarafından ancak 1995′te, 100 sayfayı aşan ve matematiğin o güne kadar birbiriyle alakasız gözüken farklı alanlarını birleştiren bir makale ile ispatlanabildi.

Nesiller boyu pek çok matematikçinin kanına girmiş bu teorem ne kadar sıra dışıysa Andrew Miles’ın “Fermat’nın Son Teoremi isimli” kitapta anlatılan hikayesi de o kadar sıra dışı. Ortak çalışmanın kabul gördüğü çağdaş matematik dünyasında Miles çocukluk hayali olarak nitelediği bu serüveni kimse ile paylaşmadan yıllar boyu sürdürmüş. Bahsi geçen ispat aktif olarak 7 yıllık çalışmasına mal olmuş ve bu süreç içinde amacına ulaşmak için o zamana kadar matematikte bilinmeyen pek çok yeni teknik ve yaklaşım getirmiş. Her biri kendi başına çok değerli ve bir matematikçiyi saygıdeğer kılacak pek çok keşif yapmış. Ancak dünya tüm bu keşifleri ancak ispatın tümü yayınlandıktan sonra öğrendi. Kaydettiği ilerlemeleri kimseyle paylaşmamasının ve geliştirdiği teknikleri son aşamaya varana dek kimsenin onayından geçirmemesinin çok açık bir sebebi var:

Fermat’nın teoremini ispatlayan matematikçi olarak tarihe geçmek.

Eğer ispatın %99′unu tamamlasa ve sadece ufak bir noktaya çözüm getiremeden yaptığı ilerlemeleri yayınlasa tüm dünya üstünde belki de yüzlerce matematikçi zincirin o eksik halkasını tamamlamak için uğraşırdı. Ve tanımı gereği bir ispatı tamamlamış olma onuru, o ispata en büyük katkıyı yapana değil en son halkayı birleştirip zinciri tamamlayana aittir. Öte taraftan 7 yıl boyunca kimseye danışmadan çığır açıcı pek çok tekniği ilk kullanan olmak da çok riskli ve insanı hiç tahmin edilmedik hatalar yapmaya iten bir yol. Sanırım Fermat’nın son teoremini ispatlayan insan olarak anılma isteği bu riski göze alınmaya değer kılmış.

Kitaba geri dönecek olursak, en az seviyede matematik bilenlerin takip edebileceği bir şekilde yazıldığını söyleyebilirim. Yazar, biraz daha zorlasa kitapta Fermat’nın üstte verdiğim ünlü formülü dışında tek bir formül kullanmadan kitabı tamamlayabilirmiş. Matematik tarihi üzerine popüler bir derleme, çocukluk hayaline hayatını adamış bir insanın hikayesi ve matematik nasıl yapılır sorusuna kolay okunan bir cevap sunuyor bu kitap. Benim için okuması hoştu. Tavsiye ederim.

Fermat’nın Son Teoremi, Simon High. Çeviren Sabir Yücesoy, Pan Yayıncılık.

İspatın büyük kısmını içeren makale: Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Andrew Wiles, Annals of Mathematics Sayı 142 (1995).